Dans cet article, nous allons émettre quelques réflexions sur l'enseignement des mathématiques à l'université, et, ce d'après notre expérience à l'université de Boumerdès, ainsi que quelques suggestions pour l'améliorer. Aussi l'objectif est de susciter un débat sur cette question.

    La question de l'enseignement des mathématiques a été soulevée en permanence depuis plusieurs dizaines d'années, surtout à partir du début du 20-ième siècle lorsque les mathématiques ont pris une certaine autonomie vis à vis des autres sciences en ce sens qu'elles arrivent à fonctionner suivant une logique interne, propre à elles. Déjà, après le langage, nous apprenons en premier lieu, à l'enfant en bas âge à compter (à l'aide de bûchettes ou de bâtonnets) parce que, instinctivement ou intuitivement, nous savons que les nombres font partie de notre environnement et notre pratique de façon permanente. Aussi à l'école, à côté de la langue et l'écriture, nous commençons à faire des mathématiques à travers l'arithmétique et les formes géométriques. A ce stade là, on commence à parler de don ou de bosse mathématique. Cependant, les psychologues et spécialistes en pédagogie, dans leur majorité, réfutent  la thèse que les mathématiques sont un don de la nature pour certains et pas pour d'autres. On ne naît pas "matheux", on le devient par l'apprentissage. Bien sûr que les conditions de cet apprentissage ne sont pas les mêmes pour tous et quelques fois ce sont le hasard ou la résolution de certains problèmes simples ou ludiques qui nous font découvrir cette science dans sa splendeur.

    Dans l'histoire de l'évolution de l'humanité, c'est à dire des sociétés et des civilisations humaines, la science mathématique est la plus ancienne dont les valeurs sont les plus permanentes. Elle s'est développée avec les besoins de la société pour la résolution des problèmes de développement dont chaque étape a contribué à son évolution sur tel ou tel aspect. Par exemple, l'imprimerie, la navigation, l'astronomie ont contribué à façonner les fonctions usuelles et le calcul différentiel et intégral. Aussi le débat sur le rôle des mathématiques dans les autres sciences est de plus en plus présent. Si, comme nous l'avons dit plus haut, à un moment, les mathématiques se sont développées de façon autonome, elles peuvent aussi s'appauvrir par d'autres moments. Ce qui est sûr aujourd'hui, c'est que toutes les autres disciplines ont besoin de mathématiques: la mécanique, la physique, la chimie, l'économie, la biologie, la médecine etc. Mais en même temps, les mathématiques s'enrichissent de problèmes, de méthodes et de concepts venant des autres sciences et proposent ensuite de nouveaux concepts, modèles et théories qui, parfois, ouvrent des perspectives imprévues dans les applications. Ce mouvement dans les deux sens fait que l'activité mathématique est aussi l'oeuvre du mécanicien, du physicien, du biologiste, de l'informaticien, en plus de celle du mathématicien pur; et que la distinction entre "les mathématiques pures et mathématiques appliquées" n'existe presque plus. Plus encore, ces dernières années, les mathématiques et l'informatique forment un couple de sciences quasiment inséparables au risque de dire que l'une ne va pas sans l'autre. Après tout cela, il faut dire qu'une série de questions se pose. Qui enseigne les mathématiques, et à qui? Quoi? Comment? Pourquoi? Notre but ici n'est pas de répondre à toutes ces questions, mais il est déjà une réponse venant des praticiens eux-mêmes: on a besoin des mathématiques.

    En partant de cette dernière réponse, dans le cas de notre université, de nombreux problèmes, concernant l'enseignement des mathématiques, sont liés à sa jeunesse et à la définition des besoins pour les autres disciplines. Le but de cette réflexion est plutôt de montrer les difficultés de l'enseignement des mathématiques dans le premier cycle et de faire quelques propositions pour essayer d'améliorer un tant soit peu la situation, en se basant sur une certaine expérience en tant qu'enseignant de cette matière.

    Quelques constatations sur les difficultés de compréhension de la part des étudiants.

    La première remarque est que, depuis une dizaine d'années environ, le niveau, disons le franchement, des étudiants arrivant à l'université a réellement baissé. Soyons clair, en disant cela crûment, il ne s’agit nullement d'incriminer l'étudiant lui-même, mais le système d'enseignement dont il est le produit. Tout étudiant, quel qu'il soit, aspire, et cela est légitime, à savoir plus et à se former le mieux possible. C'est surtout aux responsables de l'enseignement d'offrir les meilleures conditions d'étude, et particulièrement aux enseignants de l'aider. Ceci étant dit, pour lever toute ambiguïté, il s’agit de déceler les faiblesses de la formation et de la préparation des étudiants à l'entrée à l'université. Ce qui est frappant pour l'enseignant de mathématiques,et cela dès les premiers cours de mathématiques d'algèbre et d'analyse surtout, c'est le manque flagrant de rigueur dans le raisonnement et dans les réponses à des questions sur des thèmes qui, pourtant, ont été déjà traités dans l'enseignement secondaire, car au premier semestre de la première année du premier cycle, dans les filières scientifiques, on reprend, généralement, beaucoup de notions étudiées au lycée (la logique, les ensembles, les applications, les structures algébriques, les suites réelles, le calcul différentiel et intégral, l'étude des fonctions etc.), mais cette fois-ci avec plus de rigueur. D'autre part, il faut relever que la géométrie, qui est pourtant à la base de l'apprentissage du raisonnement, est presque ignorée.

    La deuxième remarque est l'incapacité, pour de nombreux étudiants de consulter leurs notes de cours ainsi que les manuels (de cours et d'exercices existant à la bibliothèque) qu'on leur propose On peut rétorquer que c'est peut-être un problème de langue. Nous ne pensons pas que cela soit vrai, car dans les universités où existent des sections arabophones, le constat est le même. De même, le baccalauréat est en langue arabe, mais les résultats ne sont pas aussi bons si on veut parler de qualité. Ce n'est depuis deux ans qu'on parle d'un certain nombre de bacheliers avec mention "très bien". D'autre part, il existe à la bibliothèque de notre faculté des manuels de mathématiques traduits en arabe, sans compter que le langage mathématique ne demande pas une connaissance approfondie du français. Bref, sans trop chercher à polémiquer sur cette question, nous pouvons dire que la langue n'est pas vraiment un obstacle (peut-être pour quelques étudiants) et si obstacle il y a, il n'est pas fondamental et peut-être dépassé largement avec les connaissances acquises en langue française au lycée pour peu que l'étudiant s'intéresse à la lecture. Et c'est là le hic. Les étudiants ne lisent même pas.

    La troisième remarque est le manque et, même souvent, le refus de faire des efforts de compréhension. Le mot effort est devenu presque un non sens. Ceci se reflète dans l'utilisation de l'internet. Ce qui est paradoxal et étonnant, comme le montre l'expérience de ces deux ou trois dernières années, lorsque l'enseignant donne un travail de recherche ou de synthèse sur un problème à faire à l'aide de l'Internet, beaucoup d'étudiants "calent", n'arrivent pas à effectuer le travail demandé et abandonnent, malheureusement, très rapidement. Ceci

s'explique par le fait que devant le flux extraordinaire d'informations qu'offre Internet, les étudiants ne font pas cet effort nécessaire de recherche, de synthèse et de patience.

    La quatrième remarque est le refus par un étudiant d'admettre ses insuffisances. Ceci a été remarqué, et très souvent, lors des consultations des copies d'examen où l'étudiant cherche à "gagner des points" sur le fait qu'il a écrit quelque chose même si c'est faux. Cette attitude entraîne parfois de conflits et d'incompréhension entre enseignants et étudiants. Cela ne signifie nullement que l'enseignant a toujours raison, mais le problème c'est lorsque cela devient une règle.

    La cinquième remarque est que souvent de nombreux étudiants répondent à tort et à travers aux questions posées sans se soucier des réponses, qui sont vraiment, disons-le mathématiquement, absurdes. C'est peut-être cela la psychologie de la réponse à toute chose (correcte ou incorrecte) par "normal".

    La sixième remarque, très importante, est que la motivation est très forte dans certains filières "demandées" où les possibilités d'emploi sont grandes (comme les hydrocarbures, l'informatique).

    On peut encore faire d'autres remarques plus ou moins importantes, mais cela risque de nous dévier de notre propos.

Quelques constatations sur les difficultés de l'enseignement de la part des enseignants. Du côté enseignants, là aussi quelques remarques s'imposent.

   La première est que certains cours fondamentaux de tronc commun sont assurés par des enseignants inexpérimentés à des flux importants d'étudiants dans un amphi, là où l'expérience, la compétence et l'assurance sont nécessaires. C'est une réalité amère. Comme pour les étudiants, il ne s'agit nullement d'incriminer les enseignants, mais cette répartition des charges s'explique quelquefois par le manque, malheureusement, d'enseignants expérimentés.

    La deuxième remarque est que, dans la formation des enseignants, les connaissances en pédagogique et en psychologique sont inexistantes. Comment enseigner? Comment transmettre le savoir? Quelle attitude prendre devant des situations d'incompréhension ou de conflit?

    La troisième remarque est que parfois les écarts de notations sont assez grands entre enseignants d'une même matière et même section et cela pose problème.

    La quatrième remarque est l'inexistence de supports didactiques ou de programme détaillé pour les enseignants nouveaux. Les programmes, lorsqu'ils existent sont très vagues et comportent souvent uniquement les titres de chapitres. Ce qui est loin d'aider l'enseignant nouveau.

    La cinquième remarque est le manque de coordination entre le département de mathématiques et les autres spécialités pour établir des programmes adaptés en mathématiques. Quelques fois, le module de mathématiques dans d'autres départements n'est pas enseigné par des mathématiciens de formation. Ce qui n'est pas normal, car celui qui enseigne une matière donnée doit savoir plus que ce qu'il a appris dans cette matière, même s'il est compétent dans son domaine. L'enseignement des mathématiques est l'affaire des mathématiciens, comme la physique est celle des physiciens. Il faut impérativement remédier à cette situation.

    Encore une dernière remarque concernant la reforme de l'université en général, c'est que dans les conditions citées plus, haut, le nouveau système LMD (Licence, Master, Doctorat) semble vouer à l'échec dans sa "philosophie" du travail que doit fournir l'étudiant, à savoir 50 % du volume en tant que travail personnel. En plus de cela, s'ajoute l'approche par compétences que peu de gens, à vrai dire, ont compris et qui demande déjà un travail recherché de la part des enseignants sur les questions à poser aux étudiants et les orienter, et cela sans compter que les échanges entre les universités, à quelques exceptions près, et l'environnement économique et social actuel ne sont pas développés.

    Là encore, on peut faire d'autres remarques et une question se pose: comme on est arrivé à cette situation? Cela est un autre débat. Dans la suite de cet article, nous allons essayer, propre de donner quelques explications et de faire quelques propositions pour notre université.

    Quelques tentatives d'explication.

    Ce qui ressort des remarques sur la formation des nouveaux étudiants, c'est que les bacheliers n'ont certainement pas été préparés pour l'université en tant que telle, c'est à dire un haut lieu de culture où l'étudiant doit apprendre à développer surtout ses propres capacités de formation et cela, de manière la plus autonome possible. Nos propos qui suivent ne signifient point que les enseignants du lycée, eux-mêmes, sont responsables, mais encore une fois, montrent qu'il y a véritablement un problème profond et que le système scolaire actuel est dans une situation "sinistrée". La hantise du Bac chez les lycéens, les enseignants des lycées, les parents et les autorités ministérielles et administratives a rendu cet examen, qui, bien sûr, est un tournant dans la vie du lycéen, comme l'objectif unique: décrocher le baccalauréat coûte que coûte. Ce qui fait que le bachotage est devenu la règle principale. Comme les sujets de cet examen ont pris un caractère stéréotypé, presque toujours suivant un même modèle, on s'est orienté petit à petit à donner des "recettes" de résolution d'exercices au détriment de la compréhension des notions fondamentales et du raisonnement rigoureux. La rigueur est une qualité inconnue chez le bachelier entrant à l'université. Illustrons cela, sur un exemple. On demande à un étudiant de montrer qu'une fonction réelle f est monotone sur un ensemble X de nombres réels, X⊂R. Le premier réflexe est de déterminer le signe de la dérivée (méthode plutôt technique et pratique) sans savoir si elle est dérivable ou non, surtout lorsqu'il s’agit d'une suite réelle   où la variable est discrète, n∈N, et dans ce cas, la notion de dérivée n'a pas de sens. La définition de base de la monotonie a été remplacée par le signe de la dérivée. Ceci est illustré par le tracé automatiquement du tableau de variations, alors qu'il n'est pas demandé. Un autre cas typique est la simplification lors des opérations sur les limites de suites ou de fonctions lorsque l'étudiant élimine certains termes qui tendent vers zéro en passant à la limite avant même qu'il ne passe à la limite en fin d'opération. Cela est illustré par la flèche de simplification ↗⁰ au milieu même de l'opération alors que celle-ci n'est pas terminée. Ceci est source de beaucoup d'erreurs dans la notion de limite. On peut citer encore d'autres exemples comme cela.

    Concernant la lecture, lors d'un test auprès des étudiants, à la question de savoir s'ils ont consulté le manuel officiel de mathématiques édité par le ministère de l'éducation, la réponse a été négative pour la majorité, et pire encore, que cela était inutile pour le Bac, alors que le manuel contient des notions de mathématiques de base les préparant pour l'université. S'ajoute à cela, la course aux cours de "renforcement ou de soutien" qui ont rendu, dans une certaine mesure, le lycéen incapable de travailler seul, de manière autonome. Une fois à l'université, l'étudiant est confronté dès le début à quelques problèmes en mathématiques: la compréhension des notions abstraites de base, la rigueur mathématique, le travail personnel, la rédaction... Toute ceci se reflète dans le plus grand problème actuel pour enseigner les mathématiques qui réside dans le raisonnement déductif: l'implication logique  p Þq  où p et q sont deux propositions. Là, même les enseignants expérimentés trouvent des difficultés à faire comprendre que p est l'hypothèse (ou condition suffisante) et q le résultat (ou condition nécessaire). Entre condition nécessaire et condition suffisante, il y a confusion totale chez beaucoup d'étudiants qui est tenace et on la retrouve même chez les étudiants de deuxième et troisième année de licence de mathématiques. Comment expliquer cela? Cela vient de loin certainement. La légèreté avec laquelle les étudiants abusent du "donc" (c'est à dire de l'implication) dans le raisonnement mathématique est symptomatique d'un état psychologique.

    Ainsi, le passage du lycée à l'université ne se fait pas dans la continuité. L'une des questions qu'on se pose: "comment se fait-il que les deux ministères de l'éducation et de l'enseignement supérieur ne se sont pas penchés de manière sérieuse sur cette question qui est posée depuis longtemps?"

    Quelques suggestions pour notre faculté.

    Pour l'enseignant de l'université, l'étudiant est censé être plus ou moins préparé à cela. Que faire dans ces conditions? Avancer comme ça dans le programme universitaire ou revoir les méthodes de travail de l'étudiant? Répondre à ces questions, dans le cas de notre université, est une urgence. Comment apprendre à l'étudiant à apprendre? Faut-il ajouter une année préparatoire après le Bac? Pourquoi pas si cela est nécessaire. Il y va de l'avenir de l'université. Comment préparer les enseignants de mathématiques à l'université à affronter cette situation? Comment adapter les programmes sans altérer les contenus? Les réponses à ces questions nécessitent un débat général et profond entre les enseignants des universités et des lycées, les spécialistes en pédagogie, les parents, les utilisateurs de diplômés etc. En attendant cela, nous pouvons émettre quelques suggestions immédiates.

    1) L'une des tâches principales est de motiver l'étudiant en lui inculquant l'idée que sans les mathématiques, il ne pourra pas être performant dans les domaines où les connaissances scientifiques sont exigées. Pour cela, il faut rappeler que les mathématiques ont explosé ces dernières années. Paradoxalement, les domaines à la mode et très demandés exigent des connaissances approfondies en mathématiques. Nous pouvons citer: le crypte et décryptage, la téléphonie mobile, la biotechnologie, les télécommunications,  l'astrophysique (voir le site sur Internet: "http://smf.emath.fr/Publications/ExplosionDesMathematiques/". Pour cela, le dialogue entre enseignants et étudiants doit être permanent dans le cadre des comités pédagogiques qui doivent jouer pleinement leur véritable rôle.

    2) Tenir des séminaires pédagogiques et scientifiques pour échanger les avis sur les méthodes d'enseignement et sur les connaissances scientifiques pour faire face au vide actuel

    3) Etant donné que les programmes de base (de tronc commun) en mathématiques restent encore les mêmes par nécessité, les enseignants peuvent dès maintenant les reformuler de façon précise et méthodique, en mettant en relief les notions de base fondamentales obligatoires, ainsi que le volume horaire moyen pour cela. Cela permettra d'éviter les recoupements et les chevauchements.

    4) Préparer pour chaque enseignant un sorte de guide où figurent les notions sur lesquelles il doit insister.

    5) Dire que le programme a été réalisé à  x% est un non sens. L'important, c'est de donner à l'étudiant les notions de base afin qu'il puisse progresser seul, de manière autonome. Il faut savoir qu'apprendre à un étudiant à être autonome est un déjà un résultat positif. Pour cela, il faut, à chaque rentrée, apprendre et responsabiliser l'étudiant à compléter soi-même le cours ou les parties non traitées par l'enseignant en lui donnant le programme détaillé de la matière en question ainsi que les références et le guider par des consultations. Pour cela, comme cela se fait dans les universités fonctionnant normalement, des questions doivent être posées sur ces parties lors des examens. D'autant plus que la formation dans une seule spécialité poussée est de plus en plus écartée à cause des mutations perpétuelles dans l'environnement économique et social et il vaut mieux "armer" le futur diplômé avec des notions solides de base, avec une certaine spécialisation bien sûr, qui lui permettront de faire face à ces changements.

    6) Pour l'utilisation des logiciels de calcul symbolique, de statistiques et autres, qui se développent à une vitesse incroyable, pourquoi ne pas créer des laboratoires de mathématiques comme il en existe pour la physique, la chimie, la biologie.

    En conclusion, les quelques réflexions émises n'ont pas la prétention de répondre aux questions posées mais surtout, et nous l'espérons, d'ouvrir un débat sur question de l'enseignement des mathématiques dans notre université.